MAKALAH
LOGIKA
MATEMATIKA
DOSEN PENGAMPU: Mulhamah,
M.Pd
DISUSUN OLEH :
NAMA NIM
1.
WAHYU
EFENDI 160103082
2.
DEDI
SISWANTO 160103072
3.
MUHAMMAD
ZENUDIN T. 160103077
4.
KAMILA
ISMI 160103065
5.
ANDARI
FILNA JESIKA 160103068
6.
RAMBU
FAIJAH RAMADHAN 160103087
7.
YUNITA
SYAHABUDIN 160103076
8.
SITI
NURHALIMAH 160103088
KELAS
: 1.C
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA
IAIN MATARAM
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya
sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang
berjudul “Logika Matematika”, yang mana makalah ini diajukan untuk
memenuhi salah satu tugas mata kuliah Matematika Dasar.
Adapun yang kami bahas dalam makalah ini
yaitu pengertian logika matematka , bagian- bagian dari logika matematika yang
disertai dengan contoh soal dan latihan soal.
Kami menyadari bahwa dalam
pembuatan makalah ini masih banyak kekurangan-kekurangannya, hal ini disebabkan
keterbatasan pengetahuan, waktu, serta sumber yang kami miliki. Oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat kami harapkan untuk perbaikan penyusunan selanjutnya.
Akhirnya kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kami khususnya dan bagi para pembaca pada umumnya.
Mataram, 12 September 2016
DAFTAR
TABEL
Tabel 1.1 Tabel
Kebenaran Konjungsi ………………………………………………………8
Tabel 1.2 Tabel
Kebenaran Disjungsi………………………………………………………..8
Tabel 1.3 Tabel
Kebenaran Negasi ………………………………………………….………9
Tabel 1.4 Tabel
Kebenaran Disjungsi Eksklusif………………………………………….….9
Tabel 1.5 Tabel
Kebenaran Hukum – hukum Logika Proposisi…………………………….10
Tabel 1.6 Tabel
Kebenaran Implikasi ………………………………………………………12
Tabel 1.7 Tabel
Kebenaran Varian Proposisi Bersyarat…………………………………….14
Tabel 1.8 Tabel
Kebenaran Bikondisional……………………………………………….….15
Tabel 1.9 Tabel Kebenaran
Untuk p , q , dan p → q ……………………………….……….19
Ø KATA
PENGANTAR.……………………...........………………………….................................2
Ø DAFTAR
TABEL ………….......………,,,,……………………………………………………....3
Ø DAFTAR
ISI….…………………………………………………………….................................,.4
Ø BAB
I PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang Materi ……………………………………………………......5
1.2 Tujuan
Pembelajaran …………………………………………………………5
Ø BAB
II PEMBAHASAN
2.1 Pengertian dan Contoh Soal
……………………….…………………………6
2.2 Latihan Soal
…………………………………………………………………20
Ø BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan ………………………………………………………………….23
3.2 Saran ………………………………………………………………………...23
Ø DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakag Masalah
Logika
matematika merupakan pokok bahasan yang sangat pentingkarena berhubungan dengan
kemampuan berfikir secara logis. Berfikir secaralogis sangat diperlukan dalam
setiap aspek kehidupan sehari-hari karenamerupakan pendukung keberhasilan suatu
tindakan, misalnya dalampengambilan keputusan.Banyak hal yang perlu kita ketahu
mengenai logika. Melalui logikakita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan
dari suatu kalimat danmengetahui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan
pernyataankedua. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu
pernyataanbernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan kita dapatkan
setelahmempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian
mengambilkesimpulan dengan benar atau sah.
Banyak
hal yang perlu kita ketahui mengenai logika. Dengan logika, kita juga dapat
mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting
yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan
atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah. Logika matematika
memberikan dasar bagi sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat digunakan dalam
banyak aspek kehidupan.
1.2 Tujuan Pembelajaran
1. Dapat
menjelaskan konsep , hukum , dan operasi logika.
2. Dapat
menyimpulkan suatu argument.
3. Mengetahui
operasi-operasi yang terdapat dalam logika matematika
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian
dan Contoh Soal
Logika merupakan studi penalaran (
reasoning ). Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia disebutkan definisi penalaran,
yaitu cara berfikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi bukan
dengan perasaan atau pengalaman. Pelajaran logika difokuskan pada hubungan
antara pernyataan –pernyataan ( statements ).
Tinjau argument barikut :
Semua pengendara sepeda motor
memakai helm.
Setiap orang yang memakai helm
adalah mahasiswa.
Jadi, semua pengendara sepada motor
adalah mahasiswa.
Meskipun logika tidak membantu
menentukan apakah pernyataan-pernyataan tersebut benar atau salah, tetapi jika
kedua pernyataan itu benar , maka penalaran dengan menggunakan logika membawa
kita pada kesimpulan bahwa pernyataan “ Semua pengendara sepeda motor adalah
mahasiswa” juga benar.
·
Proposisi
Proposisi adalah kalimat deklaratif
yang bernilai benar atau salah , tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.
Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannay.
Contoh soal
Kalimat – kalimat berikut ini :
a.
6
adalah bilangan genap.
b.
2
+ 2 = 4
c.
Ibukota
provinsi Jawa Barat adalah Semarang
Pembahasan
: Semuanya merupakan proposisi.
Proposisi a dan b bernilai benar , tetapi proposisi c bernilai salah karena
Ibukota provinsi Jawa Barat seharusnya adalah Bandung.
·
Mengkombinasikan
Proposisi
Kita dapat membentuk proposisi baru
dengan cara mengkombinasikan satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan
untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator
logika dasar yang digunakan adalah dan (and),atau (or),
dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan
operator biner karena operator tersebut mengoperasikan dua
buah proposisi, sedangkan operator ketiga dinamakan operator unerkarena
ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Proposisi baru yang diperoleh dari
pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound
proposition). Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi
atomik. Dengan kata lain, proposisi majemuk disusun dari
proposisi-proposisi atomik. Metode pengkombinasian proposisi dibahas oleh
matematikawan Inggris yang bernama George Boole pada tahun 1854 di dalam
bukunya p yang terkenal, The
Laws of Thought. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi,
disjungsi, dan ingkaran. Ketiganya didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan p dan q adalah
proposisi.
-
Konjungsi
p dan q dinyatakan dengan notasi p Λ q , adalah proposisi p dan q.
-
Disjungsi p dan q dinyatakan
dengan notasi p V q , adalah
proposisi p atau q.
-
Ingkaran dari p , dinyatakan dengan notasi ~p ,adalah proposisi tidak p.
Contoh
soal
Diketahui
proposisi-proposisi berikut :
p : Hari ini hujan.
q : Murid-murid
diliburkan dari sekolah.
Pembahasan
: p Λ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah.
p V q : Hari ini hujan atau murid-murid
diliburkan dari sekolah.
~p : Tidak benar hari ini hujan
·
Tabel
Kebenaran
Nilai kebenaran dari proposisi
majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara
mereka dihubungkan oleh operator logika.
-
Konjungsi
p Λ q bernilai benar , jika proposisi p dan q keduanya bernilai
benar , selain itu nilainya salah.
Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi.
p
|
Q
|
p Λ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
Contoh
soal
Misalkan
:
p : 17 adalah bilangan prima
q :
2 adalah bilangan genap
jelas
bahwa p dan q bernilai benar sehingga konjungsi
p Λ q : 17 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan genap adalah benar.
- Disjungsi p v q
bernilai salah jika proposisi p
dan q keduanya bernilai salah, selain
itu nilainya benar.
Tabel 1.2
Tabel kebenaran disjungsi
P
|
q
|
p V q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Contoh
soal
Misalkan
:
p : 4 adalah bilangan prima
q :
bilangan prima selalu ganjil
jelas
bahwa p dan q bernilai salah sehingga disjungsi
p V q : 4 adalah bilangan prima atau
bilangan prima selalu ganjil adalah salah.
- Negasi p,
yaitu ~p ,
bernilai benar jika p salah , sebaliknya bernilai salah jika p
benar.
Tabel
1.3
Tabel kebenaran negasi
p
|
~p
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Berikut ini adalah contoh negasi :
p
:
Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.
~p : Tidak benar
Palembang adalah ibukota propinsi Sumatera Selatan.
Jadi nilai dari ~p adalah salah karena p benar.
-
.
·
Disjungsi Eksklusif
Disjungsi
Eksklusif yaitu disjungsi p dan q bernilai benar hanya jika salah satu proposisi atomiknya benar (
tapi bukan keduanya).
Contoh
p : Dodi naik pesawat terbang.
q : Dodi
naik kapal laut.
p V q : Dodi
naik pesawat terbang atau kapal laut.
Dalam contoh tersebut, Dodi hanya
naik pesawat terbang saja atau kapal laut saja, dan tidak mungkin naik pesawat
terbang dan sekaligus naik kapal laut.
Tabel 1.4 Tabel nilai kebenaran disjungsi Eksklusif
·
Hukum
– hukum Logika Proposisi
Tabel
1.5
Tabel hukum-hukum logika proposisi
Hukum identitas
p ˅ F ↔ p
p Λ T ↔ p
|
Hukum null/Dominasi
p Λ F ↔
F
p ˅ T ↔ T
|
) Hukum Negasi
p ˅ ~p ↔ T
p Λ ~p ↔ F
|
) Hukum Idempoten
p ˅ p ↔ p
p Λ
p ↔ p
|
H Hukum involusi (negasi ganda)
~ (~p) ↔ p
|
) Hukum Penyerapan
p ˅ (p Λ q) ↔ p
p Λ (p ˅ q) ↔ p
|
Hukum Komutatif
p ˅ q ↔ q
˅ p
p Λ q ↔ q
Λ p
|
) Hukum Asosiatif
p ˅ (q ˅ r) ↔ (p ˅ q) ˅ r
p Λ (q Λ r ) ↔ (p Λ q)
Λ r
|
Hukum Distributif
p ˅ (q Λ r) ↔ (p ˅ q) Λ (p ˅ r)
p Λ (q ˅ r ) ↔ (p Λ q) ˅
(p Λ r)
|
Hukum De Morgan
~(p Λ q) ↔ ~p ˅ ~q
~(p ˅ q) ↔ ~p Λ ~q
|
Contoh soal
Tunjukkan
bahwa p ˅ ~ ( p ˅ q ) dan p ˅ ~q
keduanya ekivalen secara logika.
Pembahasan
:
p ˅ ~ ( p ˅
q ) ↔ p ˅ ( ~p ˄ ~q ) (
Hukum De Morgan )
↔ ( p ˅ ~p ) ˄ ( p ˅ ~q ) ( Hukum distributive )
↔
T ˄ ( p ˅ ~q ) (
Hukum negasi )
↔
p ˅ ~q ( Hukum identitas
·
Operasi
Logika di dalam Komputer
Bahasa pemrograman umumnya
menyediakan tipe data boolean untuk data yang bertipe logika, misalnya tipe
boolean dalam bahasa pascal, logical dalam bahasa fortran. Tipe data boolean
hanya mempunyai dua buah konstanta nilai saja, yaitu true dal false. Peubah
yang bertipe boolean disebut peubah boolean (boolean variable). Nilai peubah
tersebut hanya true atau false.
Operasi boolean sering dibutuhkan
dalam pemrograman. Operasi boolean dinyatakan dalam ekspresi logika (atau
dinamakan juga ekspresi boolean). Operator boolean yang digunakan adalah AND,
OR, XOR, dan NOT. Ekspresi boolean tersebut hanya menghasilkan salah satu dari
dua nilai, true atau false.
Misalkan x1, x2 , x3, dan x4 adalah peubah boolean dalam
Bahasa Pascal, maka ekspresi boolean di bawah ini adalah valid :
x1 and x2
x1 or (not ( x2 and x3 ))
Yang
bersesuaian dengan ekspresi logika
x1
^ x2
x1 ˅ ~ (x2 ˄ x3 )
Operasi
lain dari pemrograman yang bersesuaian dengan operasi logika adalah operasi
bit. Sebuah bit hanya mempunyai dua nilai yaitu 1 dan 0. 1 untuk
mempresentasikan true (T) dan 0 untuk mempresentasikan false (F). Kita
menggunakan notasi , ^, masing-masing
untuk melambangkan operator AND,
OR, XOR, dan NOT. Denga demikian operasi bit:
~0
1^
0
0
˅ 0
Bersesuaian
dengan operasi logika:
~ F
T ^ F
F ˅ F
Operator
logika AND, OR, XOR, dan NOT dapat
digunakan sebagai kata penghubung logika diantara term-term yang dicari.
Misalkan kita ingin mencari semua halaman web yang berkaitan dengan “aljabar
atau boolean” maka term yang kita cari ditulis sebagai: aljabar OR boolean.
Jika kedua-duanya “aljabar dan boolean” maka ditulis : aljabar AND boolean. Jika kita ingin mencari semua halaman web yang
berkaitan dengan topik aljabar atau boolean yang berkaitan dengan matematika,
maka term yang ditulis adalah: (aljabar OR boolean) AND matematika.
·
Proposisi
Bersyarat ( Implikasi )
Pernyataan yang berbentuk “ jika p,
maka q “ semacam itu disebut proposisi bersyarat atau kondisional atau
implikasi , dan dilambangkan dengan “ p → q “ .
Dalam implikasi p → q hanya salah
jika p benar tetapi q salah , selain itu implikasi bernilai benar.
Tabel 1.6 Tabel kebenaran
implikasi
p
|
q
|
p → q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Contoh soal
Ubahlah proposisi “ es yang mencair
di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik “ ke dalam bentuk proposisi “ jika p, maka q “.
Pembahasan
:
p → q :
Jika es mencair dikutub , maka permukaan air laut naik.
-
Implikasi
dalam Bahasa Pemrograman
Struktur if-then yang digunakan pada
kebanyakan bahasa pemrograman berbeda dengan implikasi if-then yang digunakan
dalam logika. Struktur if-then dalam bahasa pemrograman berbentuk: If c then S
Dalam
hal ini c adalah sebuah ekspresi logika yang menyatakan syarat atau kondisi,
sedangkan S berupa satu atau lebih pernyataan. Ketika program dieksekusi dan
menjumpai pernyataan if-then, S dieksekusi jika c benar, tetapi S tidak
dieksekusi jika c salah.
Pernyataan
if-then dalam bahasa pemrograman bukan proposisi karena tidak ada korespondensi
antara pernyataan tersebut dengan operator implikasi .
Penginterpretasi bahasa pemrograman (disebut interpreter atau compiler) tidak
melakukan penilaian kebenaran pernyataan if-then secara logika. Interpreter
hanya memeriksa kebenaran kondisi c, jika c benar maka S dieksekusi, sebaliknya
jika c salah maka S tidak dieksekusi.
Contoh :
Misalkan di dalam sebuah program yang
ditulis dalam bahasa pascal terdapat pernyataan berikut:
If
x > y then : = x + 10 ;
Berapa nilai y setelah pelaksanaan
pernyataan if-then di atas jika nilai x dan y sebelum pernyataan tersebut
adalah (i) x = 2, y = 1 dan (ii) x = 3 , y = 5 ?
Penyelesaian:
(i)
sebelum
pernyataan if-then nilai x = 2 dan y = 1 , maka ekspresi x > y bernilai
benar. Sehingga pernyataan y := x + 10
dilaksanakan, yang mengakibatkan nilai
y sekarang menjadi y = 2 + 10 =12
(ii)
sebelum
pernyataan if-then nilai x = 3 dan y = 5 , maka ekspresi x > y bernilai
salah sehingga pernyataan y := x + 10 tidak dilaksanakan, dalam hal ini nilai y tetap seperti sebelumnya, yaitu bernilai 5.
·
Varian
Proposisi Bersyarat
Terdapat
bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan p → q, yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari implikasi.
Ketiga variasi proposisi bersyarat tersebut adalah konvers, invers, dan
kontraposisi dari proposisi asal p → q.
Atau dapat dituliskan sebagai
berikut:
Konvers (kebalikan) : q → p
Invers :
~ p → ~ q
Kontraposisi : ~ q → ~ p
Tabel 1.7
Tabel Kebenaran implikasi , konvers , invers , dan kontraposisi
p
|
Q
|
~p
|
~q
|
p → q
|
q →p
|
~ p → ~ q
|
~ q → ~ p
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
Tabel di
atas memperlihatkan tabel kebenaran dari ketiga varian proposisi bersyarat
tersebut. Dari tabel tersebut terlihat bahwa proposisi bersyarat p → q ekivalen secara logika dengan kontraposisinya, ~ q → ~p. Sedangkan konvers q →p ekivalen
secara logika dengan invers ~ p → ~ q. Ekivalen secara yang
dimaksud diatas adalah memiliki nilai kebenaran yang sama atau setara.
Contoh :
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari
pernyataaan berikut “jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”.
Penyelesaian:
a. Konvers
(kebalikan) : q → p
Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil.
b.
Invers :
~ p → ~ q
Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya.
c. Kontraposisi : ~ q → ~ p
Jika Amir bukan orang kaya,
maka ia tidak mempunyai mobil.
·
Bikondisional
(Bi-implikasi )
Biimplikasi atau bikondisional ialah
suatu pernyataan majemuk yang berbentuk ”p jika dan hanya jika q” yang berarti
“jika p maka q dan jika q maka p”. Biimplikasi sering disebut juga sebagai
implikasi dua arah. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “p⇔q”. Pernyataan biimplikasi “p⇔q” bernilai benar jika p dan q
mempunyai nilai kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah), sedangkan
jika nilai kebenaran p dan q tidak sama maka p ⇔ q merupakan pernyataan yang salah.
Tabel
1.8 Tabel kebenaran bikondisional
P
|
q
|
p ⇔ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Contoh Soal
Diketahui pernyataan berikut ini :
p : Eka rajin belajar
q : Eka lulus Ujian Nasioanal
Tuliskan pernyataan majemuk dari dua
pernyataan di atas kedalam bentuk p⇔q ( bikondisonal )
Penyelesaian: p⇔q : Eka rajin belajar jika dan hanya
jika Eka lulus Ujian Nasional
·
Inferensi
Inferensi adalah proses penarikan
kesimpulan dari beberapa proposisi. Beberapa kaidah inferensi sebagai berikut :
1.
Modus Ponen
Premis 1
: p → q
Premis 2
: p
____________________
: q
Contoh :
Premis 1 :
Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)
Premis 2 :
Saya belajar (benar)
________________________________________________
: Saya lulus ujian (T)
2. Modus
Tolen
Premis 1
: p →q
Premis 2
: ~ q
_____________________
: ~
p
Contoh :
Premis 1 :
Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan
Premis 2 : Saya
tidak memakai jas hujan
_________________________________________________________
: Hari tidak hujan
3. Silogisme
Hipotesis
Premis 1 : p →q
Premis 2 : q →r
_______________
: p →r
Contoh :
Premis 1 :
Jika kamu benar, saya bersalah
Premis 2 :
Jika saya bersalah, saya minta maaf
_____________________________________________
: Jika
kamu benar,maka saya minta maaf
4. Silogisme
Disjungtif
Premis 1
: p ˅ q
Premis 2
: ~ p
__________________
: q
Contoh :
Premis 1 :
Pengalaman ini berbahaya atau membosankan
Premis
2 : Pengalaman ini tidak berbahaya
_______________________________________________________
: Pengalaman ini membosankan
5. Simplifikasi
Premis 1
: p ˄ q
__________________
: p
Contoh :
Premis 1 :
Hamid adalah mahasiwa IAIN Mataram dan Unram
_________________________________________________________
: Hamid
adalah mahasiwa IAIN Mataram
6. Konjungsi
Premis 1
: p
Premis 2
: q
__________________
:
p Λ q
Contoh :
Premis 1 : Luluk mengambil kuliah filsafat
Premis 2 : Luluk mengulang kuliah agama.
_______________________________________________________
:
Luluk mengambil kuliah filsafat
dan mengulang kuliah agama
7. Penjumlahan
Premis 1
: p
__________________
: p ˅ q
Contoh :
Penarikan kesimpulan seperti berikut
ini :
“ Luluk mengambil kuliah filsafat.
Karena itu , Luluk mengambil kuliah filsafat atau mengulang kuliah agama ˮ menggunakan
kaidah penjumlahan , atau dapat juga ditulis dengan cara :
Premis 1 : Luluk mengambil kuliah filsafat.
___________________________________________
: Luluk mengambil kuliah filsafat atau mengulang kuliah agama
·
Argument
Argumen adalah suatu deret proposisi
yang ditulis sebagai
p1
p2
p3
⁞
pn
______
q
yang dalam hal ini, p1,p2,p3…..
pn disebut hipotesis (premis), dan q disebut klonkusi.
Sebuah argumen dikatakan sahih jika
konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar , sebaliknya argumen dikatakan
palsu.
Contoh :
“ Jika air laut surut setelah gempa di laut,
maka tsunami datang.
Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”
Adalah sahih.
Penyelesaian:
Misalkan p adalah “jika air laut
surut setelah gempa di laut” dan q adalah proposisi “tsunami datang. Makadapat
ditulis sebagai berikut :
Premis 1
: p → q
Premis 2
: p
__________________
: q
Untuk membuktikan kesahihan argument
ini menggunakan tabel kebenaran.
Tabel
1.9 Tabel kebenaran untuk p , q ,
dan p → q
P
|
q
|
p → q
|
B
|
B
|
B ( baris 1 )
|
B
|
S
|
S ( baris 2 )
|
S
|
B
|
B ( baris 3 )
|
S
|
S
|
B ( baris 4 )
|
Sahih jika semua hipotesisnya benar, maka
konklusinya benar. Kita periksa apabila hipotesis p dan p → q benar , maka
konklusi q juga benar sehingga argument dikatakan benar. Periksa pada table di
atas, p dan p → q benar secara
bersama-sama pada baris 1. Pada baris 1 ini q juga benar. Jadi , argument yang
berbentuk modus ponen diatas sahih.
·
Aksioma
, Teorema , Lemma , dan Colollary
-
Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan
benar, aksioma tidak memerlukan -pembuktian kebenaran lagi.
Contoh aksioma :
Untuk semua bilangan real x dan y,
berlaku x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan)
-
Teorema adalah proposisi yang sudah
terbukti benar.
Contoh teorema:
Jika dua sisi dari sebuah segitiga
sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.
-
Lemma adalah teorema yang digunakan dalam
pembuktian teorema lain.
Contoh lemma:
Jika n adalah bilangan bulat
positif, maka n-1 bilangan positif atau n-1 = 0.
-
Carollary adalah teorema yang mengikuti
teorema lain.
Contoh carollary:
Jika sebuah segitiga sama sisi,maka
segitiga tersebut sama sudut.
Carolarry ini mengikuti contoh teorema
diatas
2.2 Latihan
Soal
1. Benar ataukah salah proporsisi berikut ?
Jika 2 < 1 maka Joko Widodo bukan presiden saat ini.
2. Tentukan negasi dari
pernyataan-pernyataan berikut:
a) Hari ini Jakarta banjir.
b) Kambing bisa terbang.
c) Didi anak bodoh
3. Ubalah implikasi berikut ke dalam
bentuk proposisi “ jika p,
maka q”.
a.
Orang
itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
b.
Ahmad
bisa mengambil mata kuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus mata
kuliah Matematika Diskrit.
4. Tentukan pernyataan di bawah ini yang
merupakan proposisi:
a.
3+15=17
b.
x+y=
y+x untuk setiap pasangan bilangan real X dan Y
c.
tidak
ada orang utan hidup di kota.
d.
4+x=5
5. Nyatakan apakah setiap implikasi
berikut benar atau salah:
a.
Jika
2+2=4 maka 3+3=5
b.
Jika
1+1=2 maka tuhan ada
c.
Jika
2+2=4 maka 4 adalah bilangan prima
6. Tulislah table kebenaran untuk
setiap proposisi berikut :
a.
(
p ˅ q ) ˄ ~p
b.
(~
p ˅ ~q ) ˅ p
7. Diberikan pernyataan “ tidak benar
bahwa penjualan merosot maupun pendapatan tidak naik ˮ. Berikan pernyataan yang
ekivalen secara logika dengan pernyataan tersebut (petunjuk : gunakan Hukum de Morgan)
8. Perlihatkan bahwa ( p → q ) → r dan
p → ( q →r ) tidak ekivalen.
9. Tulislah
konvers, invers, dan kontraposisi kalimat berikut :
a.
Jika bilangan rasional , maka angka
desimalnya akan berulang
b.
Jika n adalah bilangan prima , maka n
adalah bilangan ganjil atau n=2
c.
Jika p adalah bujursangkar , maka p
adalah 4 persegi panjang
10. Diketahui:
Premis 1 : Jika Adi rajin belajar maka Adi
lulus ujian
Premis 2 : Jika Adi lulus ujian maka Adi
dapat diterima di PTN
Penarikan kesimpulan dari premis–premis
tersebut adalah…
11. Diketahui
pernyataan p salah, q bernilai benar dan r bernilai salah. Tentukan nilai
kebenaran pernyataan-pernyataan (~p ∨
q) ∨ (p ∨ ~q) dan (p ∨ ~q)∨ ((~p ∨ q) ∨ ~r)!
12.
Buatlah
tabel kebenaran dari pernyataan (~p ∨ ~q) ∨ (p ∨ ~r)!
13. Diberikan pernyataan “Untuk mendapatkan satu
kupon undian, Anda cukup membeli dua produk senilai Rp. 50.000,-”.
a. Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk
proposisi “jika p, maka q”.
b. Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan
kontraposisi dari pernyataan tersebut.
14. 
Kontraposisi dari pernyataan majemuk p (p V ~q) adalah
Kontraposisi dari pernyataan majemuk p (p V ~q) adalah
15. Konvers dari implkasi “ jika sungaiitu dalam,
maka di sungai banyak ikan.” Adalah
16. Invers dari “ jika x > 0 maka x2
+ x – 2 > 0 ” adalah
17. Tentukan argument dari pernyataan berikut
“jika ibu tidak pergi maka adik senang”, “jika adik senang maka dia tersenyum”.
Adalah
18. Amati pernyataan berikut ini : p
P : hari ini ahmad pergi ketoko buku
Q : hari ini ahmad pergi ke supermarket
Ubahlah kedua pernyataan diatas dengn logika
matematikadi bawah ini:
a.
P^q
b.
P^~q
c.
~p^q
19. Tentukan konjungsi dari premis
dibawah ini
Premis 1: wahyu adalah seorang
sastrwan
Premis 2 :wahyu seorang petinju
20. P : amir melanjutkan kuliah.
Q
: amir lulus ujian nasional.
Tentukan
majemuk dan nilai kebenarannya:
1. P → Q
2. ~P → Q
3. P → ~Q
4. P → ~Q
21. Buatlah tabel kebenaran untuk
kalimat dalam bentuk simbol-simbol di bawah ini :
~(~p~q)
22. Bentuk umum implikasi di atas
adalah “p → q” dengan
p
: Bendera Republik indonesia
q : Bendera yang ada warna
merahnya.
Dari
implikasi diatas dapat dibentuk ditentukan tiga implikasi lainnya yaitu :
a.
konvers
b.
invers
c.
kontraposisi
23. Suatu pernyataan “jika saya rajin belajar maka
saya lulus ujian”. Pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi di atas adalah
24. Tentukan negasi dari kalimat “setiap
semua SMA terpelajar”
25. Nyatakan kalimat-kalimat berikut
merupakan kalimt terbuka atau pernyataan, jika pernyataan menyatakan nilai
kebenarannya:
X+2=x-2 dan 2(x+1)+2x+5
26. Tentukan nilai kebenaran dari 6
bilangan prima dan 3 bilangan ganjil dengan konjungsi
27. Tentukan nilai kebenaran 2+2=4
28. Buatlah table kebenaran dari ~p
~q
29. Tentukan nilai kebenaran dari 3
bilangan prima dan 5 bilangan genap dengan diskonjungsi
30. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi
dari setiap pernyataan dari setiap pernyataan implikasi berikut:
a.
Jika
harga BBM naik, maka harga kebutuhan sehari-hari naik
b.
Jika
charle siswa yang pandai maka ia lulus tes
BAB III
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Logika
adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkansecara tegas
antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah.Dalam mempelajari
logika matematika pasti berhubungan dengan istilahpernyataan, kalimat majemuk
dan ingkaran. Pernyataan-pernyataan majemukdiantaranya adalah sebagai
berikut:1. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”.2.
Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”.3.
Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan “→”.4.
Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkandengan
“↔”.Di dalam logika matematika terdapat beberapa jenis operasi yangdigunakan,
diantaranya yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, danbiimplikasi.Ada
tiga jenis cara penarikan kesimpulan dalam logika matematika,diantaranya adalah
sebagai berikut:1. Dengan Modus Ponen.2. Dengan Modus Tollens.3. Dengan
Silogisme.
3.2
Saran
Dengan penyusunan
makalah ini, penulis berharap pengetahuan mengenai logika matematika dapat
diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalam banyak aspek
kehidupan. Melalui logika, kita dapat mengetahui
apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan
didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian
mengambil kesimpulan dengan benar atau sah.
DAFTAR PUSTAKA
Rinaldi .Munir , 2014 , Matematika Diskrit , Bandung ,
Informatika.
0 komentar:
Posting Komentar